Question

16．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CF=2AE；
（2）若S_△ABE=2cm²，求四边形ADCF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证△AFE≌△DBE，利用全等三角形的对应边相等得到AF=BD，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形和中点的定义证得结论；
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据正方形的判定推出即可．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠3=∠4}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF=AD=2AE；
（2）∵点E为AD的中点，
∴S_△ABD=2S_△ABE=4cm²，
∵AD为△ABC的中线，
∴S_△ADC=S_△ABD=4cm²，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF的面积=2S_△ADC=8cm²．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，等高三角形的面积比等于底边比、等底等高的三角形面积是平行四边形面积的2倍的应用，综合性较强．