Question

2．已知x₁，x₂是关于x的方程（x-2）（x-3）=（n-2）（n-3）的两个实数根．则：
（1）两实数根x₁，x₂的和是5；
（2）若x₁，x₂恰是一个直角三角形的两直角边的边长，那么这个直角三角形面积的最大值是$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 （1）原方程可化为x²-5x-n²+5n=0，根据根与系数的关系即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式得到直角三角形面积=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n=-$\frac{1}{2}$（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，即可得到结论．

解答 解：（1）原方程可化为x²-5x-n²+5n=0，
∴x₁+x₂=5；
故答案为：5；
（2）∵x₁，x₂恰是一个直角三角形的两直角边的边长，
∴x₁x₂=-n²+5n，
∴直角三角形面积=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n=-$\frac{1}{2}$（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴直角三角形面积的最大值=$\frac{25}{8}$．
故答案为：$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，直角三角形的面积的计算，二次函数的最值问题，正确求出直角三角形面积=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n=-$\frac{1}{2}$（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$是求直角三角形面积的最大值的关键．