Question

17．如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边AC的中点，点P为斜边AC上的点，点D为直角边BC上的点，且PB=PD，DE⊥AC于E，BO与PD相交于M．
（1）请说明BO=PE的理由；
（2）若CE=x，AC=8，△ABP的面积是y，请写出y与x的函数关系式（不考虑x的取值范围），并画出这个函数的完整图象；
（3）在（2）的条件下，函数图象与x轴的交点是D，与y轴的交点是A点，平面直角坐标系原点是O点，请画出∠OAB，使射线AB交x轴于B点，使射线AD平分∠OAB，若⊙O′经过点A、点D，且圆心O′点在AB上，请说明“OB为⊙O′的切线”的理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质，结合等腰三角形性质和外角性质证明△BOP≌△PED即可；
（2）结合（1）表示出三角形APB的底和高，用三角形面积公式进行求解，用两点法画直线即可；
（3）结合平行和半径相等，证明O′D∥OA即可．

解答 解：（1）如图1

由等腰直角三角形ABC中，点O是斜边AC的中点，可得：∠A=∠C=∠ABO=∠CBO=45°，BO⊥AC，∠BOP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴45°+∠PBO=45°+∠DPE，
∴∠PBO=∠DPE，
∵DE⊥AC，
∴∠DEP=90°，
∴∠DPE=∠BOP，
在△BOP和△PED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠DEP}\\{∠PBO=∠DPE}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△PED，
BO=PE；
（2）由等腰直角三角形ABC中，点O是斜边AC的中点，可得：BO=$\frac{1}{2}$AC=4，
由（1）知，PE=BO=4，
∴AP=8-4-x=4-x，
∴y=$\frac{1}{2}×4×（4-x）$=-2x+8，
图象是过（4，0）和（0，8）的一条直线，如图2，

（3）如图3，

∵AO′=DO′，
∴∠O′AD=∠O′DA，
∵AD平分∠OAB，
∴∠OAD=∠O′AD，
∴∠OAD=∠O′DA，
∴O′D∥OA，
∴∠O′DB=90°，
∴OB为⊙O′的切线．

点评 此题主要考查等腰直角三角形的性质和圆的综合问题，会构造全等三角形证明线段相等，会表示三角形面积，会证明圆的切线是解题的关键．