Question

2．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．
（2）如图2，若∠AMD=2∠MCD，∠ACB=90°，AC=BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）

Answer 1

分析 （1）由CN∥AB，MA=MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD=MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．
（2）由∠AMD=2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB=90°，AC=BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵CN∥AB，
∴∠DAM=∠NCM，
在△ADM和△CNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠NCM}\\{MA=MC}\\{∠AMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴MD=MN，
∴四边形ADCN是平行四边形．

（2）解：∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MC=MD，
∴AC=DN，
∴?ADCN是矩形，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴?ADCN是正方形，
∴AN=AD=BD=CD=CN．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．注意证得△AMD≌△CMN与四边形ADCN是正方形是解此题的关键．