Question

7．如图1，正方形ABCD中，O是正方形对角线的交点，点E和点F是AD边和CD边上的两点
（1）如果OE⊥OF，求证：OE=OF；
（2）如图2，点M为EF的中点，AE=DF，求证：DM=OM．

Answer 1

分析 （1）过O作OM⊥AD于M，ON⊥CD于N，求出∠MON=90°，求出OM=ON，∠EOM=∠FON，根据ASA推出△EOM≌△FON，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）过O作ON⊥CD于N，OP⊥AD于P，求出∠PON=90°，求出OP=ON，PE=FN，根据SAS推出△EOP≌△FON，根据全等得出∠EOP=∠FON，求出∠EOF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出即可．

解答 证明：（1）如图1，

过O作OM⊥AD于M，ON⊥CD于N，则∠OMD=∠OND=90°，∠OME=∠ONF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∴∠MON=360°-90°×3=90°，
∵O为正方形ABCD的对角线的交点，
∴OM=ON，
∵∠MON=90°，∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON=90°-∠MOF，
在△EOM和△FON中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOM=∠FON}\\{OM=ON}\\{∠EMO=∠FNO}\end{array}\right.$
∴△EOM≌△FON（ASA），
∴OE=OF；

（2）如图2，

过O作ON⊥CD于N，OP⊥AD于P，
则∠OPD=∠OND=∠D=90°，
所以∠PON=90°，
∵O为正方形ABCD的对角线交点，
∴OP=ON，P、N分别为AD、CD的中点，
∵AE=DF，
∴PE=FN，
在△EOP和△FON中
$\left\{\begin{array}{l}{EP=FN}\\{∠EPO=∠FNO}\\{OP=ON}\end{array}\right.$
∴△EOP≌△FON（SAS），
∴∠EOP=∠FON，
∵∠PON=90°，
∴∠EOF=∠EOP+∠POF=∠FON+∠POF=∠PON=90°，
∵∠ADC=90°，M为EF的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$EF，OM=$\frac{1}{2}$EF，
∴DM=OM．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能构造全等三角形是解此题的关键．