Question

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB=8，AD=4，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB=ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；
（2）设BF=x，所以可得DE=BE=x，AE=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE²=DE²+AD²，求出x的值即可．

解答 （1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠CBD=∠EDB．
∴∠ABD=∠EDB．
∴EB=ED．
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵ED∥BF，∠C=90°，
∴∠ADE=90°．
设BF=x，
∴DE=BE=x．
∴AE=8-x．
在Rt△ADE中，AE²=DE²+AD²
∴（8-x）²=x²+4²
解得x=3，
∴BF=3．

点评 本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键．