如图(1).是两个全等的直角三角形(直角边分别为a.b.斜边为c)(1)用这样的两个三角形构造成如图(2)的图形.利用这个图形.证明:a2+b2=c2,(2)用这样的两个三角形可以拼出多种四边形.画出周长最大的四边形,当a=2.b=4时.求这个四边形的周长,(3)当a=1.b=2时.将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中.使直角顶点与原点重合.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a²+b²=c²；
（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a=2，b=4时，求这个四边形的周长；
（3）当a=1，b=2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在x轴、y轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形；（要求：用尺规画出所有符合条件的点，并用C₁，C₂，…，C_n在图中标出所找的点．只保留作图痕迹，不写作法）
②写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（-1，0），写出一个满足条件的在y轴上的点坐标：（0，2+$\sqrt{5}$）．

分析（1）由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
（2）根据图形得出四边形的周长最大可以用最长两边作边长；
（3）根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可求解．

解答解：（1）由图可得，$\frac{1}{2}$×（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，
整理得$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{2}=\frac{2ab+{c}^{2}}{2}$，
∴a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²．
（2）当a=2，b=4时，
可得：c=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$；
如图1：
所以四边形的周长为：8+4$\sqrt{5}$；
（3）如图2：
一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（-1，0）；
一个满足条件的在y轴上的点的坐标：（0，2+$\sqrt{5}$）．
故答案为：（-1，0）；（0，2+$\sqrt{5}$），