Question

7．勾股定理是几何中的一个重要定理．而在西方，则是由著名数学家毕达哥拉斯用如图①的图形验证了勾股定理．故图①由此得名“毕达哥拉斯树”．图②是由图①放入长方形内得到的，∠BAC=90°，∠ABC=30°，BC=4，D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ的边上，则此长方形KLMJ的面积为（　　）

• A． 48+20$\sqrt{3}$
• B． 32+20$\sqrt{3}$
• C． 52+16$\sqrt{3}$
• D． 28+16$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，BC=4，
∴AC=$\frac{1}{2}$BC=2，AB=2$\sqrt{3}$．
如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BOF}\\{∠ACB=∠OBF}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
所以，矩形AOLP是正方形，
边长AO=AB+AC=2$\sqrt{3}$+2，
所以，KL=2$\sqrt{3}$+2+2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$+2，LM=4+2$\sqrt{3}$，
因此，矩形KLMJ的面积为（4$\sqrt{3}$+2）×（4+2$\sqrt{3}$）=32+20$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．