Question

16．如图是某太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB=160cm，∠BAC=30°，AE=200cm，∠CED=60°，求水箱半径OD的长度．（结果精确到0.1cm）（结果保留三位有效数字，参考数据$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°求出求出CD的长，再设出水箱半径OD的长度为xcm，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO的长再代入数计算即可得到答案．

解答 解：∵在直角△CDE中，∠CED=60°，
∴tan60°=$\frac{CD}{CE}$=$\sqrt{3}$，
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD，
设水箱半径OD的长度为xcm，则CO=（CD+x）cm，AO=（160+x）cm，
∵∠BAC=30°，
∴CO=$\frac{1}{2}$AO，AC=AO•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO，
即CD+x=80+$\frac{1}{2}$x①
又$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO+$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=200，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$（160+x）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（80-$\frac{x}{2}$）=200
解得：x=160-76$\sqrt{3}$≈160-76×1.7=30.8，
答：水箱半径OD的长度约为30.8cm．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．