Question

17．如图，已知∠DAE=22.5°，点C是射线AE上一点，且线段AC=3，若点M和点N分别是射线AD和线段AC上的两个动点，则MN+MC的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 作C关于AB的对称点E，过E作EN⊥AC于N，连接AE，则EN=CM+MN的最小值，由对称的性质得到AB垂直平分BC，推出△AEN是等腰直角三角形，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：作C关于AB的对称点E，过E作EN⊥AC于N，连接AE，
则EN=CM+MN的最小值，
由对称的性质得：AB垂直平分BC，
∴AE=AC=3，∠EAC=2∠BAC=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案是：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过线段平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．