Question

9．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，若这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题．
（1）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（2）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．
（2）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB之间的数量关系．

解答 （2）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，


（3）结论：BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．
理由：如图③中，

∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
BE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB．
∴点E是AB的中点时，点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
设AE=BE=a，则EC=2a，
在Rt△EBC中，BC=$\sqrt{E{C}^{2}-E{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴AB：BC=2a：$\sqrt{3}$a=2：$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．

点评 本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键，本题的突破点是发现∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，属于中考压轴题．