Question

2．问题探究：已知，如图①，△AOB中，OB=3，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得△A′OB′，连接BB′，可知BB′=3$\sqrt{2}$．
应用：如图②，已知边长为2$\sqrt{3}$的正△ABC，以AB为边向外作一个正△ABD，点P为△ABC内部一点，连接AP，并将AP顺时针旋转60°，得到线段AQ，连接DQ，BP，CP．
（1）根据题意，完成图形；
（2）求证：∠ABP=∠ADQ；
（3）求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

分析 探究：由旋转的性质，可得△BOB'是等腰直角三角形，据此求得BB'的长；
应用：（1）根据题意进行画图即可；
（2）先判定△DAQ≌△BAP（SAS），即可得出∠ABP=∠ADQ；
（3）连接PQ，当C，P，Q，D共线时，CP+PQ+QD=CD（最短），再求得CD=6，即可得出PA+PB+PC的最小值为6．

解答 解：由旋转可得，OB=OB'=3，∠BOB'=90°，
∴△BOB'是等腰直角三角形，
∴BB'=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$；

应用：（1）如右图所示：

（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，AD=AB，
∵AP顺时针旋转60°，得到线段AQ，
∴∠PAQ=60°，AQ=AP，
∴∠BAD=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP，
在△DAQ和△BAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AP}\\{∠DAQ=∠BAP}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAQ≌△BAP（SAS），
∴∠ABP=∠ADQ；

（3）如图②，连接PQ，
∵∠PAQ=60°，AQ=AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ，
由（2）可得，△DAQ≌△BAP，
∴BP=QD，
当C，P，Q，D共线时，CP+PQ+QD=CD（最短），
此时，PA+PB+PC最短，
设AB与CD交于点O，
∵AC=AD=2$\sqrt{3}$，∠CAD=120°，
∴Rt△AOC中，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴CO=$\sqrt{3}$AO=3，
同理可得，OD=3，
∴CD=6，
∴PA+PB+PC的最小值为6．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是根据全等三角形的对应边相等进行求解；解决第（3）问时，需要构造等边三角形，依据两点之间线段最短进行计算．