Question

7．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，切线CD交AB的延长线于D．
（1）求证：△CBD∽△ACD．
（2）若CD=4，BD=2，求直径AB的长．
（3）在（2）的前提下求tan∠CAB的值．

Answer 1

分析 （1）由AB为直径得到∠ACO+∠BCO=90°，利用切线的性质得∠BCO+∠BCD=90°，则根据等角的余角相等得到∠BCD=∠ACO，加上∠ACO=∠A，则∠A=∠BCD，则可根据相似三角形的判定方法可得到结论；
（2）由△CBD∽△ACD得到DC：DA=DB：DC，然后利用比例性质可求出AB；
（3）由△CBD∽△ACD得到$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，然后根据正切的定义求解．

解答 （1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠BCO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠A=∠BCD，
而∠BDC=∠CDA，
∴△CBD∽△ACD；
（2）解：∵△CBD∽△ACD，
∴DC：DA=DB：DC，即4：（2+AB）=2：4，
∴AB=6；
（3）解：∵△CBD∽△ACD，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．也考查了切线的性质．