Question

19．如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（Ⅰ）直接写出点E、F的坐标；
（Ⅱ）如图2，若点P是线段DA上的一个动点，过P作PH⊥DB于H点，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S；
（Ⅲ）如图3，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值．（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；
（Ⅱ）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；
（Ⅲ）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可求，AE=1，CF=1，
故：E（3，1），F（1，2）；
（Ⅱ）如图2

∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，
∴BF=AB=2，
∴OD=CF=3-2=1，
若设OP的长为x，
则，PD=x-1，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，
∴∠ADB=45°，
在Rt△PDH中，PH=DH=DP×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），
∴S=$\frac{1}{2}$×DH×PH=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）=$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$；
（Ⅲ）如图3

作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，
可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（-1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，-1），
用两点法可求直线E′F′的解析式为：y=$-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$，
当x=0时，y=$\frac{5}{4}$，当y=0时，x=$\frac{5}{3}$，
∴N（0，$\frac{5}{4}$），M（$\frac{5}{3}$，0），
此时，四边形MNFE的周长=E′F′+EF=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（2+1）^{2}}$+$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=5+$\sqrt{5}$；
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为：5+$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查几何变换中的翻折，熟悉翻折的性质，会结合坐标系求点的坐标，会运用对称点解决线段和最小是解题的关键．