题目内容
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{m}{n}$，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：
如图1，若m=n，点E在线段AC上，则$\frac{DE}{DF}$=1；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则$\frac{DE}{DF}$=$\frac{n}{m}$（用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，DF=4$\sqrt{2}$，请直接写出CE的长．
分析 （1）先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；
（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；
（3）由（2）的结论得出△ADE∽△CDF，判断出CF=2AE，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
解答 解：（1）当m=n时，即：BC=AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}$=1，
∴$\frac{DE}{DF}$=1
（2）①∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{n}{m}$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{n}{m}$
②成立．如图，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{n}{m}$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{n}{m}$．
（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，
∵$\frac{DE}{DF}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CF}=\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AE，
在RtDEF中，DE=2$\sqrt{2}$，DF=4$\sqrt{2}$，
∴EF=2$\sqrt{10}$，
①在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC-CE）=2（$\sqrt{5}$-CE），EF=2$\sqrt{10}$，
根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴CE2+[2（$\sqrt{5}$-CE）]2=40
∴CE=2$\sqrt{5}$，或CE=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍）
②在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（$\sqrt{5}$+CE），EF=2$\sqrt{10}$，
根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴CE2+[2（$\sqrt{5}$+CE）]2=40，
∴CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，或CE=-2$\sqrt{5}$（舍），
即：CE=2$\sqrt{5}$或CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，求CE是本题的难点．
| A． | 5 | B． | $\frac{5}{2}$ | C． | $±\frac{5}{2}$ | D． | ±5 |
| A． | 2、3、4 | B． | 6、8、9 | C． | 5、12、13 | D． | 1、1、2 |
