Question

11．在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如图1，点D是CA延长线上一点，点E在线段AB上，且AD=AE，连接BD和CE，延长CE交BD于点F，连接AF．求证：BD=CE；
（2）在（1）得条件下，求∠AFD的度数；
（3）如图2，点P是△ABC外一点，∠APB=45°，猜想PA、PB、PC三条线段长度之间存在的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由两个等腰直角三角形得到两个三角形全等的条件，即可；
（2）利用（1）得到的结论，判断出点A，E，F，D四点共圆，即可；
（3）利用三角形相似的判定和性质，再利用勾股定理，即可．

解答 证明：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DAB=90°，
在Rt△EAC和Rt△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EAC≌Rt△DAB，
∴CE=BD；
（2）如图1，

由（1）有，Rt△EAC≌Rt△DAB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠AEC=∠ABD+∠BEF=90°，
∵∠DAE=90°，
∴点A，E，F，D四点共圆，
∴∠AFE=∠ADE=45°，
∴∠AFD=45°；
（3）PA、PB、PC三条线段长度之间存在的等量关系为PB-PC=$\sqrt{2}$PA．
如图2，在PB上截取PM=PC，

由（2）有，∠BPC=90°，
∴CM=$\sqrt{2}$PC，∠PMC=45°，
∴∠BMC=135°，
∵∠APB=45°，
∴∠APC=135°，
∴∠APC=∠BMC，
∵∠ACP+∠ACM=∠BCM+∠ACM=45°，
∴∠ACP=∠BCM，
∴△APC∽△BMC，
∴$\frac{PC}{CM}=\frac{PA}{MB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BM=$\sqrt{2}$PA，
∴PB=PM+BM=PC+$\sqrt{2}$PA，
∴PB-PC=$\sqrt{2}$PA．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形，相似三角形的性质和判定，判定四点共圆的方法和同弧所对圆周角相等，判断四点共圆是解本题的关键，也是难点．