Question

6．关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x₁+x₂=x₁•x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x₁+x₂=-（2k+1）、x₁•x₂=k²+1，结合x₁+x₂=x₁•x₂即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再根据k＞$\frac{3}{4}$即可确定k的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）=4k-3＞0，
解得：k＞$\frac{3}{4}$．
∴实数k的取值范围为k＞$\frac{3}{4}$．
（2）由根与系数的关系，得：x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²+1，
∵x₁+x₂=x₁•x₂，
∴-（2k+1）=k²+1，
方程无解．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，根据根与系数的关系得出关于k的一元二次方程是解题的关键．