Question

11．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD为斜边AB上的中线．
（1）如图1，AE平分∠CAB交BC于E，交CD于F，若DF=2，求AC的长；
（2）将图1中的△ADC绕点D顺时针旋转一定角度得到△ADN，如图2，P，Q分别为线段AN，BC的中点，连接AC，BN，PQ，求证：BN=$\sqrt{2}$PQ；
（3）如图3，将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度到△AMN，其中D的对应点是M，C的对应点是N，若B，M，N三点在同一直线上，H为BN中点，连接CH，猜想BM，MN，CH之间的数量关系，请直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线定理求出FM，再利用等腰直角三角形的性质即可得出CF，最后用AC=$\sqrt{2}$CD即可；
（2）先判断出$\frac{DN}{DP}=\frac{DB}{DQ}$=$\sqrt{2}$，再判断出∠PDQ=∠NDB，进而得出，△PDQ∽△NDB即可判断出结论；
（3）先判断出，∠MAC=∠GBC进而得出△ACM≌△BCG，即可得出∠ACM=∠BCG，进而△MCG是直角三角形，再用直角三角形的中线得出MG=2CH，最后等量代换即可．

解答 解：（1）如图1∵等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD为斜边AB上的中线．
∴CD⊥AB，∠ACD=45°
过点F作FM⊥AC，
∵AE平分∠CAB，
∴FM=FD=2
在Rt△CMF中，∠ACD=45°，
∴CF=$\sqrt{2}$MF=2$\sqrt{2}$，
∴CD=CF+FD=2$\sqrt{2}$+2，
∵CD是等腰直角三角形斜边的中线，
∴AC=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$+2）=4+2$\sqrt{2}$；

（2）如图2，连接DP，DQ，
∵△ADC绕点D顺时针旋转一定角度得到△ADN，
∴AN=BC，DN=CD=DB，△ADN是等腰直角三角形，
∵△BCD是等腰直角三角形，点Q是BC中点，
∴DQ=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DN，
∵点P是AN中点，
∴DP=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{1}{2}$BC=DQ，
∴$\frac{DN}{DP}=\frac{DB}{DQ}$=$\sqrt{2}$，
∵∠NDP=∠CDQ=45°，
∴∠PDQ=∠PDN+∠CDN+∠CDQ=90°+∠CDN，
∵∠NDB=∠CDN+∠CDB=90°+∠CDN，
∴∠PDQ=∠NDB，
∵$\frac{DN}{DP}=\frac{DB}{DQ}$=$\sqrt{2}$，
∴△PDQ∽△NDB，
∴$\frac{BN}{PQ}=\frac{DN}{DP}$=$\sqrt{2}$，
∴BN=$\sqrt{2}$PQ．

（3）BM-MN=2CH．
理由：如图3，在BN上截取BG=BD，连接CG，CM，
∵△ADC绕点A顺时针旋转一定角度到△AMN，
∴MN=AM=AD=CD=DB，
∴MN=AM=BG，
根据三角形的内角和，得∠MAC=∠GBC，
在△ACM和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠MAC=∠GBC}\\{AM=BG}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCG，
∴∠ACM=∠BCG，
∴∠MCG=∠ACM+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，
∴△MCG是直角三角形，
∵H为BN中点，
∴BH=NH，
∵BG=MN，
∴HG=HM，
在Rt△MCG中，HG=HM，
∴MG=2CH，
∴BM=BG+MG=MN+2CH，
∴BM-MN=2CH．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的判定等知识点，解本题的关键是判断出△PDQ∽△NDB和△MCG是直角三角形，作出辅助线是解本题的难点，是一道很好的中考压轴题．