Question

14．已知：如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内
（1）求点A的坐标
（2）如图，将△OAB沿O到A的方向平移4个单位至△O′A′B′的位置，即AA′=4，求点B′的坐标
（3）如图，将△OAB沿O到A的方向平移n个单位至△O′A′B′的位置，若平移后的B′点横坐标为2017，求n的值．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥x轴于点M．根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=$\frac{1}{2}$OA=1，AM=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，则A的坐标可求；
（2）根据平移的性质可知当AA′=4时，OO′=4，连结O′B，由OA=O′A=AB=2，得出∠O′BO=90°，再解直角△OO′B，得出OB=$\frac{1}{2}$OO′=2，O′B=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，进而求出点B′的坐标；
（3）过O′作x轴的垂线，垂足为P．解直角△OO′P，得出OP=$\frac{1}{2}$OO′=$\frac{1}{2}$n，根据平移后的B′点横坐标为2017，列出方程$\frac{1}{2}$n+2=2017，求解即可．

解答 解：（1）如图，作AM⊥x轴于点M．
∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=1，AM=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，
∴A（1，$\sqrt{3}$）；

（2）当AA′=4时，OO′=4，连结O′B，如图，
∵OA=O′A=AB=2，
∴∠O′BO=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$OO′=2，O′B=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴点B′的坐标为（2+2，2$\sqrt{3}$），即（4，2$\sqrt{3}$）；

（3）如图，将△OAB沿O到A的方向平移n个单位至△O′A′B′的位置，即AA′=n，
∴OO′=n．
如下图，过O′作x轴的垂线，垂足为P．

在△OO′P中，∵∠O′PO=90°，∠OO′P=30°，OO′=n，
∴OP=$\frac{1}{2}$OO′=$\frac{1}{2}$n，
∵平移后的B′点横坐标为2017，O′B′=2，
∴$\frac{1}{2}$n+2=2017，
∴n=4030．

点评 本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质．求出OB′的长度是解题的关键．