Question

10．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B顺时针旋转，得△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．

（1）如图1，若α=90°，求AA′的长；
（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；
（3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为Q，当O′P+BQ取得最小值时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出OA，OB，再由旋转得出O'A'，O'B即可得出点A'的坐标，即可得出结论；
（2）先确定出O'B，再判断出∠BO'C，利用含30°角的直角三角形的性质求出O'C和BC，即可求出OC，结论得证；
（3）先找出O′P+BQ取得最小值时，点P的位置，进而确定出点P的坐标，求出OP，OQ，用含30°的直角三角形的性质求出O'D，DQ，即可求出点Q的坐标．

解答 解：（1）∵A（-8，0），点B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
由旋转知O'A'=OA=8，O'B=OB=6，
∵旋转角α=90°，
∴A'（-6，14），
∵A（-8，0），
∴AA'=10$\sqrt{2}$，
（2）如图2，过点O'作O'C⊥OB，
由旋转知，O'B=OB=6，∠OBO'=120°，
∴∠CBO'=60°，
∴∠BO'C=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$O'B=3，O'C=3$\sqrt{3}$，
∴OC=OB+BC=6+3=9，
∴O'（3$\sqrt{3}$，9）；
（3）如图3，作出点B（0，6）关于x轴的对称点B'（0，-6），连接O'B'交OA于点P，
连接BP，则BP=B'P，
由旋转知BQ=BP，
∴O′P+BQ的最小值=O′P+BP=O′P+B'P=O'B'，
由（2）知，O'（3$\sqrt{3}$，9），
∵B'（0，-6），
∴直线B'O'的解析式为y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x-6，
∴P（-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，0），
∴OP=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
∴O'Q=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
过点O'作O'H⊥OB于H，过点Q作QD⊥O'H于D，
∵∠A'O'B=∠AOB=90°，∠BO'H=30°，
∴∠A'O'H=60°，
∴∠DQO'=30°，
∴O'D=$\frac{1}{2}$O'Q=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，QD=$\sqrt{3}$O'D=$\frac{9}{5}$，
∴DH=O'H-O'D=3$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{12\sqrt{3}}{5}$，QD+OH=$\frac{9}{5}$+9，
∴Q（-$\frac{12\sqrt{3}}{5}$，$\frac{54}{5}$）．

点评 此题是三角形综合题：熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系，解（1）的关键是求出点A'的坐标，解（2）的关键是用含30度角的直角三角形的性质求出O'C，BC，解（3）的关键是找出点P的位置．