Question

15．如图，△ABC，△CDE是等边三角形．
（1）求证：AE=BD；
（2）若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN；
（3）连结MN，猜想MN与BE的位置关系．并加以证明．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE=BD，只要证明△ACE≌△BCD（SAS）即可．
（2）欲证明CM=CN，只要证明△BCM≌△ACN（ASA）即可．
（3）结论：MN∥BE．只要证明△MNC是等边三角形，即可推出∠CMN=∠BCM，推出MN∥BE．

解答 （1）证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD．

（2）证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠CBD=∠CAE，
又∵BC=AC，∠BCM=∠ACN=60°，
在△BCN和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}\\{CB=CA}\\{∠BCM=∠ACN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN（ASA）
∴CM=CN

（3）结论：MN∥BE．
理由：∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∵CM=CN，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN=∠BCM=60°，
∴MN∥BE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．