题目内容
16．在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．（1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB；（友情提示：三角形内角和为180°）
（2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论．
分析 （1）由题意可知∠AOB=90°，∠DOB=90°，在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，故此∠PBO+∠PDO=180°$∠1+∠3=\frac{1}{2}$（∠PBO+∠PDO）=90°，在△FDO中，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2，由同位角相等两直线平行可知DF∥CB；
（2）延长DF交CB于点Q，在△ABO中，∠AOB=90°，所以∠BAO+∠ABO=90°可证得∠ABO=∠PDA，由角平分线的定义可证得∠1=∠2，在△CBO中，∠1+∠3=90°所以∠2+∠3=90°，所以∠CQD=90°，故此DF⊥CB．
解答 （1）证明：如图1．
∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），
∴∠AOB=90°．
∵DP⊥AB于点P，
∴∠DOB=90°．
∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，
∴∠PBO+∠PDO=180°．
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠PBO$，$∠3=\frac{1}{2}∠PDO$．
∴$∠1+∠3=\frac{1}{2}$（∠PBO+∠PDO）=90°．
∵在△FDO中，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∴DF∥CB．
（2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB．
证明：延长DF交CB于点Q，如图2．
∵在△ABO中，∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°．
∵在△APD中，∠APD=90°，
∴∠PAD+∠PDA=90°．
∴∠ABO=∠PDA．
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠ABO$，$∠2=\frac{1}{2}∠PDO$．
∴∠1=∠2．
∵在△CBO中，∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∴在△QCD中，∠CQD=90°．
∴DF⊥CB．
点评 本题主要考查的是坐标与图形的变化、平行线的判定，多边形的内角和定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
阅读快车系列答案| A． | 调査某池塘中现有鱼的数量 | |
| B． | 对端午节期间市场上粽子质量情况的调査 | |
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| D． | 对某类烟花爆竹燃放安全情况的调査 |
如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“我”字所在的面相对的面上标的字是（ ）| A． | 中 | B． | 国 | C． | 的 | D． | 梦 |
| A． | a•a2=a2 | B． | （ab）2=ab2 | C． | （a2）3=a6 | D． | a10÷a2=a5 |