Question

7．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是$\frac{1}{1×2}$；
第二个数是$\frac{1}{2×3}$；
第三个数是$\frac{1}{3×4}$；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于$\frac{2}{n×（n+2）}$．
（1）经过探究，我们发现：$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
设这列数的第5个数为a，那么$a＞\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，$a=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，$a＜\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于$\frac{2}{n×（n+2）}$”；
（3）设M表示$\frac{1}{1^2}$，$\frac{1}{2^2}$，$\frac{1}{3^2}$，…，$\frac{1}{{{{2016}^2}}}$，这2016个数的和，即$M=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…\frac{1}{{{{2016}^2}}}$，
求证：$\frac{2016}{2017}＜M＜\frac{4031}{2016}$．

Answer 1

分析 （1）由已知规律可得；
（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；
（3）将每个分式根据$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，展开后再全部相加可得结论．

解答 解：（1）由题意知第5个数a=$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；

（2）∵第n个数为$\frac{1}{n（n+1）}$，第（n+1）个数为$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{n+1}$×$\frac{n+2+n}{n（n+2）}$
=$\frac{1}{n+1}$×$\frac{2（n+1）}{n（n+2）}$
=$\frac{2}{n（n+2）}$，
即第n个数与第（n+1）个数的和等于$\frac{2}{n×（n+2）}$；

（3）∵1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$＜$\frac{1}{{1}^{2}}$=1，
$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2×3}$＜$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3×4}$＜$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
…
$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=$\frac{1}{2015×2016}$＜$\frac{1}{201{5}^{2}}$＜$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，
$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=$\frac{1}{2016×2017}$＜$\frac{1}{201{6}^{2}}$＜$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$，
∴1-$\frac{1}{2017}$＜$\frac{1}{1^2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{201{5}^{2}}$+$\frac{1}{{{{2016}^2}}}$＜2-$\frac{1}{2016}$，
即$\frac{2016}{2017}$＜$\frac{1}{1^2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{201{5}^{2}}$+$\frac{1}{{{{2016}^2}}}$＜$\frac{4031}{2016}$，
∴$\frac{2016}{2017}＜M＜\frac{4031}{2016}$．

点评 本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$得到$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$是解题的关键．