Question

15．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）求得D的坐标，进而求得AD的长，得出△ACD的面积，然后根据S_{四边形CDBO}=S_△AOB-S_△ACD即可求得．

解答 解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=2，
作CE⊥OB于E，
∵∠ABO=90°，
∴CE∥AB，
∴OC=AC，
∴OE=BE=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，CE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴1=$\frac{k}{\sqrt{3}}$，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的关系式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）∵OB=2$\sqrt{3}$，
∴D的横坐标为2$\sqrt{3}$，
代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$得，y=$\frac{1}{2}$，
∴D（2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴BD=$\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴AD=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S_{四边形CDBO}=S_△AOB-S_△ACD=$\frac{1}{2}$OB•AB-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．