Question

19．如图①，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD、BC相交于点E，过点E作EF⊥BD．
（1）猜想$\frac{1}{AB}$、$\frac{1}{CD}$、$\frac{1}{EF}$这三个量之间的数量关系并证明．
（2）若将图①中的垂直改为斜交，如图②，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，试问（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．
（3）试找出S_△ABD，S_△BED，S_△BDC之间的关系式，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）易证EF∥AB∥CD，则△ABD∽△EFD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{BD}$，同理$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$，两式相加即可得；
（2）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果；
（3）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系．

解答 解：
（1）$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{EF}$，
证明如下：
∵AB⊥BD，EF⊥BD，
∴EF∥AB，
∴△ABD∽△EFD，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{BD}$，同理$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{EF}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=$\frac{DF}{BD}$+$\frac{BF}{BD}$=$\frac{DF+BF}{BD}$=$\frac{BD}{BD}$=1，即（$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$）•EF=1，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{EF}$；
（2）成立．
理由如下：
∵AB∥EF，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{BD}$，
∵CD∥EF，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{EF}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=$\frac{DF}{BD}$+$\frac{BF}{BD}$=$\frac{DF+BF}{BD}$=$\frac{BD}{BD}$=1，即（$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$）•EF=1，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{EF}$；
（3）关系式为：$\frac{1}{{S}_{△ABD}}$+$\frac{1}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{1}{{S}_{△BED}}$．
证明如下：
如图，分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K

由（1）可得：$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{CK}$=$\frac{1}{EN}$，
∴$\frac{2}{BD•AM}$+$\frac{2}{BD•CK}$=$\frac{2}{BD•EN}$，即$\frac{1}{\frac{1}{2}BD•AM}$+$\frac{1}{\frac{1}{2}BD•CK}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}BD•EN}$，
又∵$\frac{1}{2}$BD•AM=S_△ABD，$\frac{1}{2}$BD•CK=S_△BCD，$\frac{1}{2}$BD•EN=S_△BED，
∴$\frac{1}{{S}_{△ABD}}$+$\frac{1}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{1}{{S}_{△BED}}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确通过相似三角形的性质把线段的比进行转化是关键．同时考查了平行线分线段成比例定理的运用．