题目内容

13．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是DE=EF；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是NE=BF；
（2）请你证明上述两种猜想？

分析 可利用两角夹一边求解△DNE≌△EBF（ASA），进而可得出线段相等．

解答 解：（1）DE=EF；
（2）NE=BF；
证明：∵四边形ABCD是正方形N，E分别为AD，AB的中点
∴DN=EB，AN=AE
∵BF平分∠CBM
∴∠EBF=90°+45°=135°
又∵AN=AE，∠A=90°
∴∠DNE=180°-45°=135°
∴∠EBF=∠DNE
又∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°
∴∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠BEF}\\{DN=EB}\\{∠EBF=∠DNE}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△EBF（ASA）
∴DE=EF，NE=BF．
故答案为：（1）①DE=EF；②NE=BF．

点评 此题考查正方形的性质问题，能够利用正方形的性质求解一些三角形的全等问题的解题关键．

练习册系列答案
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3．在解决“过直线AB外一点P画AB的平行线”的问题时，小明使用了一块三角板来完成作图，他的作法如下：
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第②步：用同一块三角板的斜边贴住直线PQ，并使一条直角边经过点P，沿这条直角边画直线CD，则CD∥AB．

请根据上面的信息，在图②中画出三角板的位置和直线CD，并写出这样画平行线的依据：内错角相等，两直线平行．
4．解下列方程
（1）$\frac{6}{x-2}$=$\frac{1}{x+3}$；
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8．下列各数中，数值相等的是（　　）
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18．数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形△ABC与△EFD，将△EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q，让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系．
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展示交流：
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小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小敏的说法是正确的．但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小敏说法的正确性表示怀疑．
（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由．
（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）．
（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是分类讨论思想．
5．解不等式或不等式组．
（1）解不等式：$\frac{x+17}{3}$-$\frac{3x-7}{4}$≤2
（2）解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+5≤3（x+2）}\\{\frac{x-2}{2}＜\frac{x}{3}}\end{array}\right.$并写出不等式组的整数解．
2．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA=OB=2，OC=OD=1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）．
（1）当OC∥AB时，旋转角α=60或240度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
3．如图：四边形ABCD中，AB=4，BC=2$\sqrt{10}$，CD=2$\sqrt{2}$，AD=4，∠A=90°，求∠ADC的度数．

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