Question

18．数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形△ABC与△EFD，将△EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q，让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系．
请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题．
展示交流：
小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H．我们可以证明△BCQ≌△ACD，从而易得BQ=AD，BQ⊥AD．
小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小敏的说法是正确的．但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小敏说法的正确性表示怀疑．
（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由．
（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）．
（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是分类讨论思想．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BQ=AD，BQ⊥AD；
（2）利用已知条件分类得出，体现数学中的分类讨论思想．

解答 解：（1）成立，
理由：如图乙：由题意可得：∠FDE=∠QDC=∠ABC=∠BAC=45°，
则DC=QC，AC=BC，
在△ADC和△BQC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCQ}\\{DC=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BQC（SAS），
∴AD=BQ，∠DAC=∠QBC，
延长AD交BQ于点F，
则∠ADC=∠BDF，
∴∠BFD=∠ACD=90°，
∴AD⊥BQ；

（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是：分类讨论思想；
故答案是：分类讨论思想．

点评 此题主要考查了几何变换综合题，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．