如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差.那么称这个自然数为智慧数.例如:16=52-32.16就是一个智慧数.小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索:小明的方法是一个一个找出来的:0=02-02.1=12-02.3=22-12.4=22-02.5=32-22.7=42-32.8=32-12.9=52-42.11=62-52.-小王认为小明的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=5²-3²，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：0=0²-0²，1=1²-0²，3=2²-1²，4=2²-0²，5=3²-2²，7=4²-3²，8=3²-1²，9=5²-4²，11=6²-5²，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）²-k²=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是智慧数．
问题：
（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．

分析（1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；
（2）仿照小王的做法，将（k+2）²-k²用平方差公式展开即可得出结论；
（3）验证26是否符合4k+2，如果符合，则得出26不是智慧数．

解答解：（1）继续小明的方法，12=4²-2²，13=7²-6²，15=8²-7²，即第12个智慧数是15．
故答案为：15；

（2）设k是自然数，由于（k+2）²-k²=（k+2+k）（k+2-k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．

（3）设26是智慧数，可以分成x和y的平方差的形式，
则x²-y²=（x+y）（x-y）=26=1×26=2×13，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{x+y=26}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{x+y=13}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{2}}\\{y=\frac{25}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{2}}\\{y=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$．

与x、y是想、自然数相矛盾．
则26不是智慧数．