Question

4．已知△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD，且∠BDC=120°，BD=DC，点M，N分别在边AB，AC上，连接DM、DN、MN，∠MDN=60°，探究：△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当DM=DN时，$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$；
（2）如图2，当DM≠DN时，猜想$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$；并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由于△DBM≌△DCN可以设BM=CN=2a，求出两个三角形的周长即可解决问题．
（2）如图2中，延长MB到K，使得BK=CN，连接DK，通过三角形全等，只要证明AM+MN+AN=AB+AC=2AB即可．

解答 解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCN=90°，
在RT△DBM和RT△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DCN，
∴MB=CN，∠BDM=∠CDN=$\frac{1}{2}$（∠BDC-∠MDN）=30°，设MB=CN=a，则DM=DN=2a，
∵∠A=60°，AM=AN，∠MDN=60°，DM=DN，
∴△AMN和△DMN都是等边三角形，
∴AM=MN=AN=2a，AB=BC=AC=3a，
∴$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$．
（2）结论：$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$．
证明：如图2中，延长MB到K，使得BK=CN，连接DK
在RT△DBK和RT△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{∠DBK=∠DCN=90°}\\{BK=CN}\end{array}\right.$，
∴△KBD≌△NCD，
∴DK=DN，∠CDN=∠KDB，
∵∠MDK=∠MDB+∠KDB=∠MDB+∠NCD=120°-60°=60°=∠MDN，
在△MND与△MKD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{∠MDK=∠MDN}\\{DK=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMK≌△DMN，
∴MN=MK=MB+BK=MB+CN
∴Q=AM+AN+MN=AM+BM+AN+CN=AB+AC=2AB，
∵L=3AB，
∴$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会这种辅助线的添加方法，属于中考常考题型．