Question

14．如图，△ABC、△DEF都是等腰三角形，D、E、F分别在AB、BC、CA上，已知：∠B=∠DEF=90°，AB=BC，DE=EF．
（1）写出图中所有与∠BDE相等的角；
（2）求证：BD+BE=EC．

Answer 1

分析 （1）结合等腰三角形的性质，结合“同角的余角相等”即可判断；
（2）过点F作FG⊥BC，证明三角形BDE与三角形GEF全等即可．

解答 （1）解：图中与∠BDE相等的角有：∠FEC，∠AFD；
（2）证明：如图1，

过点F作FG⊥BC与点G，
∵△ABC、△DEF都是等腰三角形，
∴∠B=∠EGF，DE=EF，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△DBE和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠B=∠EGF}\\{DE=FE}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EGF，
∴BD=EG，BE=FG，
∵∠C=∠CFG=45°，
∴FG=GC，
∴BD+BE=EG+GC=EC．

点评 此题主要考查全等三角形的判定与运用，会根据题意构造全等三角形解决问题是解题的关键．