Question

13．我们规定两数a、b之间的一种运算，记作[a，b]：如果a^c=b，那么[a，b]=c
例如[2，8]=3，对于任意自然数n，可以证明[3ⁿ，4ⁿ]=[3，4]，理由如下：设[3ⁿ，4ⁿ]=x，则（3ⁿ）^x=4ⁿ，∴（3^x）ⁿ=4n，∴3^x=4，∴[3，4]=x，∴[3ⁿ，4ⁿ]=[3，4]．
（1）根据以上规定求出：[4，64]=3；[2014，1]=0；
（2）说明等式[3，3]+[3，5]=[3，15]成立的理由；并计算[5，2]+[5，7]=[5，14]；
（3）猜想：[4，12]-[4，2]=[4，6]，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意如果a^c=b，那么[a，b]=c，进而将原式变形求出答案；
（2）根据[3，3]与[3，5]的意义，得出[3，3]+[3，5]，再表示出[3，15]的值进而得出答案；表示出[5，2]与[5，7]的值进而得出答案；
（3）利用同底数幂的除法运算法则将原式变形求出答案．

解答 解：（1）设[4，64]=x，则4^x=64=4³，
故x=3，即[4，64]=3；
设[2014，1]=x，则2014^x=1=2014⁰，
故x=0，即[2014，1]=0；
故答案为：3，0；

（2）设[3，3]=m，[3，5]=n，则3^m=3，3ⁿ=5，
故3^m•3ⁿ=3^m+n=3×5=15，
则[3，15]=m+n，
即[3，3]+[3，5]=[3，15]，
设[5，2]=m，[5，7]=n，则5^m=2，5ⁿ=7，
故5^m×5ⁿ=5^m+n=2×7=14，
则[5，14]=m+n，
即[5，2]+[5，7]=[5，14]；
故答案为：14；

（3）设[4，12]=m，[4，2]=n，则4^m=12，4ⁿ=2，
故$\frac{{4}^{m}}{{4}^{n}}$=4^m-n=$\frac{12}{2}$=6，
则[4，6]=m-n，
即[4，12]-[4，2]=[4，6]．
故答案为：6．

点评 此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则，正确将原式变形分析是解题关键．