Question

12．如图，已知在△EDF中，∠EDF=90°，DE=DF，A是EF上的点，以AD为边作正方形ABCD，它的边BC交EF于G点，连接FC．
（1）求证：FC=EA；
（2）若EA=3，AD=6，求GF的长度．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=CD，∠ADC=∠EDF=∠B=90°，证出∠ADE=∠CDF，由SAS证明△ADE≌△CDF，得出对应边相等即可；
（2）连接AC，由勾股定理求出AC，由等腰直角三角形的性质得出∠E=∠DFE=45°，由全等三角形的性质得出∠DFC=∠E=45°，得出∠AFC=90°，由勾股定理求出AF，设CG=a，GF=b，证明△AGB∽△CFG，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=∠EDF=∠B=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}&{\;}\\{∠ADE=∠CDF}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴FC=EA；
（2）解：连接AC，如图所示：
则AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵∠EDF=90°，DE=DF，
∴∠E=∠DFE=45°，
∵△ADE≌△CDF，FC=EA=3，
∴∠DFC=∠E=45°，
∴∠AFC=90°，
∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-F{C}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
设CG=a，GF=b，
∵∠AGB=∠CGF，∠B=∠AFC=90°，
∴△AGB∽△CFG，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{GB}{GF}$=$\frac{FC}{AB}$，
即$\frac{3\sqrt{7}-b}{a}=\frac{6-a}{b}=\frac{3}{6}$，
解得：b=4-$\sqrt{7}$，
即GF=4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．