Question

2．如图，AB为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连结BC、AC．过点A作圆O的切线，交直线BC于点D，作∠ADC的角平分线，交AB于点P．若AB=10，BC=6，则AP的长度为（

• A． 4
• B． 5
• C． $\frac{40}{9}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 作PH⊥BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8，再由切线性质得PA⊥AD，则利用角平分线的性质定理得到AP=PH，设AP=x，则PH=x，PB=10-x，然后证明△BPH∽△BAC，利用相似比得x：8=（10-x）：10，再根据比例性质求出x即可．

解答 解：作PH⊥BC，如图，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AD为切线，
∴PA⊥AD，
∵DP平分∠ADB，PH⊥DB，
∴AP=PH，
设AP=x，则PH=x，PB=10-x，
∵PH∥AC，
∴△BPH∽△BAC，
∴PH：AC=PB：AB，即x：8=（10-x）：10，解得x=$\frac{40}{9}$，
即AP的长度为$\frac{40}{9}$．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是根据角平分线性质作PH⊥BC得到PH=AP，同时构建△BPH∽△BAC．