Question

3．如图，已知抛物线y=-x²通过平移后得到…，y₁=-（x-1）²+2，y₂=-（x-2）²+4，y₃=-（x-3）²+6，…，平移后的顶点…，P₁，P₂，P₃，…P_k（k为整数）依次都在格点上，这些抛物线称为“好顶点抛物线”．
（1）写出平移后抛物线y_k的解析式（用k表示）．
（2）若平移后的抛物线y_k与抛物线y=-x²交于点F，其对称轴与抛物线y=-x²交于点E，若tan∠FP_kE=$\frac{1}{3}$，求整数k的值．
（3）已知-6≤k≤6，若平移后抛物线的对称轴与x轴交于点A_k，以A_kP_k为边向右作正方形A_kP_kB_kC_k，判断：正方形的顶点B_k是否恰好是其他“好顶点抛物线”上的点？若恰好是，求出该整数k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）观察平移后抛物线顶点坐标的特点，然后依据规律即可得到平移后抛物线y_k的解析式；
（2）如图1所示：过点F作FG⊥PE，垂足为G．由y_K=-（x-k）²+2k可知顶点P_k（k，2k），对称轴为x=k，对称轴与抛物线y=-x²的交点为E（k，-k²），然后求得抛物线的交点F（$\frac{k-2}{2}$，-$\frac{（k-2）^{2}}{4}$），最后依据tan∠FP_kE=$\frac{1}{3}$列方程求解即可；
（3）平移后的抛物线的顶点P_k的坐标是（k，2k），当k＞0时，点B_k的坐标是（3k，2k）．将B_k（3k，2k）代入y_k+m=-[x-（k+m）]²+2（k+m）得到关于k和m的方程，然后根据k和m为整数可求得k的值；当k＜0时，则B_k的坐标是（-k，2k）．将B_k（-k，2k）代入y_k+m=-[x-（k+m）]²+2（k+m）得到关于k和m的方程，由k、m为整数，可求得k的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²通过平移后得到…，y₁=-（x-1）²+2，y₂=-（x-2）²+4，y₃=-（x-3）²+6，…，
∴y_K=-（x-k）²+2k；
（2）如图1所示：过点F作FG⊥PE，垂足为G．

由y_K=-（x-k）²+2k可知顶点P_k（k，2k），对称轴为x=k，对称轴与抛物线y=-x²的交点为E（k，-k²），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}}\\{y=-（x-k）^{2}+2k}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k-2}{2}}\\{y=-\frac{（k-2）^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{k-2}{2}$，-$\frac{（k-2）^{2}}{4}$），
∵tan∠FP_kE=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{FG}{PG}=\frac{1}{3}$即$\frac{|k-\frac{k-2}{2}|}{|2k+\frac{（k-2）^{2}}{4}|}$=$\frac{1}{3}$，整理得：6|k+2|=（k+2）²，
解得k=4或-8或-2；
当k=-2时原方程无意义，故k=-2不是原方程的根．
∴k的值为4或-8．
（3）∵平移后的抛物线的顶点P_k的坐标是（k，2k），由题意得A_kP_k=P_kB_k=2|k|．
当k＞0时，点B_k的坐标是（3k，2k）．
设B_k（3k，2k）恰好落在抛物y_k+m=-[x-（k+m）]²+2（k+m）上，则-[3k-（k+m）]²+2（k+m）=2k．
整理得：（2k-m）²=2m．
解得：2k=±$\sqrt{2m}$+m．
∵k、m为整数，
∴当m=2时，k=2或0（0不合题意，舍去）；
当m=8时，k=2或6；
当m=18时，k=6或12（12不合题意，舍去）．
当k＜0时，则B_k的坐标是（-k，2k）．
设B_k（-k，2k）恰好落在抛物线y_k+m=-[x-（k+m）]²+2（k+m）上，则-[-k-（k+m）]²+2（k+m）=2k．
整理得：（-2k-m）²=2m．
解得：2k=±$\sqrt{2m}$-m．
∵k、m为整数，
∴当m=2时，k=-2或0（0不合题意，舍去）；当m=18时，k=-6或-12（-12不合题意，舍去）．
综上所述，可知当k=±2或k=±6时，正方形的顶点Bk恰好在其他的“好顶点抛物线”上．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点式、锐角三角函数的定义、点的坐标与函数解析式的关系，找出抛物线的顶点坐标存在的规律是解答问题（1）的关键，求得点F、E、P的坐标是解答问题（2）的关键，依据题意得到k和m的方程，并根据k和m为整数确定出k和m的值是解答问题（3）的关键．