Question

12．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点D的坐标为（1，-$\frac{9}{2}$），且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围．
（3）是否存在P点，使∠PAC=∠BCO？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线为y=a（x-1）²-$\frac{9}{2}$，把点（4，0）代入即可解决问题．
（2）如图1中，求出∠PAO=45°时点P的坐标，由此即可解决问题．
（3）存在．如图2中，∠P₁AO=∠BCO，设AP₁交y轴于E，理由相似三角形求出OE的长，再求出直线CE与抛物线的交点即可解决问题，根据对称性再求出P₂坐标即可．

解答 解：（1）设抛物线为y=a（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∵抛物线经过点（4，0），
∴0=9a-$\frac{9}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$．
（2）∵y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$．
令x=0，则y=-4，∴点C坐标（0，-4），
令y=0，（x-1）²=9，解得x=-2或4，
∴点B坐标（-2，0），点A坐标（4，0）．
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
如图1中，过点A作直线AP₁⊥AC，交抛物线于P₁，
∵直线AC为y=x-4，
∴直线AP₁为y=-x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}（x-1）^{2}-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点P₁坐标（-4，8），
∴当点P在P₁与C之间时，∠PAO不大于45°，
∴-4≤m≤0．
（3）存在．
理由：如图2中，设PA交y轴于M，作MN⊥AC于N．

设MN=CN=x，
∵∠MAN=∠BCO，
∴tan∠MAN=tan∠BCO=$\frac{1}{2}$，
∴AN=2x，
∴AC=CN+AN=4$\sqrt{2}$，
∴3x=4$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴MC=$\sqrt{2}$x=$\frac{8}{3}$，OM=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$．
∴M（0，-$\frac{4}{3}$），
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{16}{9}}\end{array}\right.$，
∴当点P坐标（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{16}{9}$）时，∠PAO=∠BCO．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰直角三角形性质，一次函数等知识，解题的关键是构建一次函数，学会利用方程组求函数交点坐标，属于中考压轴题．