如图.直线l:y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m与x轴交于A点.且经过点B．已知抛物线C:y=ax2+bx+9与x轴只有一个公共点.恰为A点．(1)求m的值及∠BAO的度数,(2)求抛物线C的函数表达式,(3)将抛物线C沿x轴左右平移.记平移后的抛物线为C1.其顶点为P．平移后.将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB.点D能否落在抛物线C1上?如能.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，直线l：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m与x轴交于A点，且经过点B（-$\sqrt{3}$，2）．已知抛物线C：y=ax²+bx+9与x轴只有一个公共点，恰为A点．
（1）求m的值及∠BAO的度数；
（2）求抛物线C的函数表达式；
（3）将抛物线C沿x轴左右平移，记平移后的抛物线为C₁，其顶点为P．
平移后，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C₁上？
如能，求出此时顶点P的坐标；如不能，说明理由．

分析（1）将B的坐标代入直线l的解析式即可求出m的值，求出直线l的解析式后，设直线l与y轴交于点C，求出C的坐标后利用锐角三角函数即可求出∠BAO的度数；
（2）由题意值：抛物线必定过（0，9），抛物线与x轴只有一个公共点A，即A点是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式y=a（x+3$\sqrt{3}$）²，将（0，9）代入顶点式即可求出a的值；
（3）设P的坐标为（h，0），由题意知，点P不能在A的左侧，所以点P在A的右侧，由于点P与D关于AB对称，且点D的坐标在抛物线C₁上，所以求出D的坐标后，代入抛物线C₁的解析式即可求出h的值．

解答解：（1）把B（-$\sqrt{3}$，2）代入y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m，
∴2=-1+m，
∴m=3，
∴直线l的解析式为y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+3，
设直线l与y轴交于点C
令x=0代入y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+3，
∴y=3，
∴C的坐标为（0，3），
令y=0代入y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+3，
∴x=-3$\sqrt{3}$，
∴A的坐标为（-3$\sqrt{3}$，0），
∴OC=3，OA=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAO=$\frac{OC}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°；

（2）令x=0代入y=ax²+bx+9，
∴y=9
∴抛物线C经过（0，9），
又∵抛物线C与x轴只有一个公共点，恰为A点，
∴A点是抛物线C的顶点，
设抛物线的顶点式为y=a（x+3$\sqrt{3}$）²，
把（0，9）代入y=a（x+3$\sqrt{3}$）²，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线C的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+3$\sqrt{3}$）²；

（3）设抛物线C₁的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-h）²，
当点P在A的左侧时，
点D一定不在抛物线C₁上，
此情况不符合题意，
当点P在A的右侧时，
此时，P（h，0）
∴AP=h+3$\sqrt{3}$，
由对称性可知：AD=AP=h+3$\sqrt{3}$，
∠DAB=∠PAB=30°，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{h+3\sqrt{3}}{2}$，
DE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}+9}{2}$，
∴D的坐标为（$\frac{h-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}h+9}{2}$），
把D（$\frac{h-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}h+9}{2}$）代入y=$\frac{1}{3}$（x-h）²，
∴$\frac{\sqrt{3}h+9}{2}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{h+3\sqrt{3}}{4}$）²，
∴h=21$\sqrt{3}$或h=-3$\sqrt{3}$，
当h=-3$\sqrt{3}$时，此时P与A重合，
此情况不合题意，
综上所述，P的坐标为（21$\sqrt{3}$，0）．