Question

14．如图，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边形ABCDEF，求证：六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．

Answer 1

分析 只要证明6条边相等，6个内角都是120°即可．

解答 解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{EF}$=$\widehat{AF}$，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°，
∵OA=OB=OC=OD=OE=OF，
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，
∴∠OAB=∠OAF=60°，
∴∠FAB=120°，同理可以证明：∠EFA=∠DEF=∠EDC=∠DCB=∠CBA=120°，
∴六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．

点评 本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，利用等弧所对的弦相等，所对的圆心角相等是解题的关键，属于中考常考题型．