Question

2．已知关于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根x₁、x₂满足|x₁|+|x₂|=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1＞0，则可判断x₁、x₂同号，然后去绝对值，当x₁+x₂=3，即2k-3=3；当-（x₁+x₂）=3，即-（2k-3）=3，然后分别解关于k的方程即可．

解答 解：（1）若方程有实数根，
则△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0，
∴k≤$\frac{5}{12}$
∴当k≤$\frac{5}{12}$时，此方程有实数根；

（2）根据题意得x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1＞0，
则x₁、x₂同号，
当x₁＞0，x₂＞0，则x₁+x₂=3，即2k-3=3，解得k=3，
当k=3时，原方程无实数根，舍去，
当x₁＜0，x₂＜0，则-（x₁+x₂）=3，即-（2k-3）=3，解得k=0，
即k的值为0．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．