Question

13．已知：a²+b²-2a+4b+5=0，c是（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1的个位数字，求（a+c）^b的值．

Answer 1

分析 先利用平方分得出a、b的数值，再把2+1变成2²-1，然后逐个使用平方差公式，算出结果，再根据2的整数次幂的个位数字的规律，可判断最后结果的个位数字得出c，进一步代入求得答案即可．

解答 解：∵a²+b²-2a+4b+5=0，
∴（a-1）²+（b+2）²=0，
∴a=1，b=-2，
∵（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）+1
=2⁶⁴-1+1
=2⁶⁴；
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，
∵64=16×4，
∴2⁶⁴的个位数字与2⁴的个位数字相同，为6，
∴原式的个位数字为6，即c=6；
∴（a+c）^b=$\frac{1}{49}$．

点评 此题考查配方法的实际运用，非负数的性质，乘方的尾数特征，掌握完全平方公式和平方差公式是解决问题的关键．