Question

4．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为边AB，BC，AD上的点，且AE=BF=DG，连接EF，GE，GF．
（1）△BEF可以看成是△AGE绕点M逆时针旋转α角所得，请在图中画出点M，并直接写出α角的度数；
（2）当点E位于何处时，△EFG的面积取得最小值？请说明你的理由；
（3）试判断直线CD与△EFG外接圆的位置关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD交GF于点M即可，根据题意确定旋转角；
（2）设正方形边长为a，AE=BF=DG=x，证明Rt△GAE和Rt△EBF，得到∠GEF是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质得到答案；
（3）分点E位于AB的中点和点E位于AB的非中点两种情况，根据直线与圆的位置关系的确定方法解得即可．

解答 解：（1）如图1，连接BD交GF于点M，则点M即为所求，
旋转α=∠AMB=90°；
（2）当点E位于AB的中点时，△EFG面积取得最小值．
理由如下：设正方形边长为a，AE=BF=DG=x，
则AG=a-x，
在Rt△GAE中，GE²=AG²+AE²=（a-x）²+x²=2x²-2ax+a²，
在Rt△GAE和Rt△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GA=EB}\\{∠DAB=∠ABC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△GAE和Rt△EBF，
∴GE=FE，∠AEG=∠BFE，
∴∠GEF是等腰直角三角形，
∴△EFG的面积=$\frac{1}{2}$GE²=（x-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{4}$a²，
所以当x=$\frac{1}{2}$a，即点E位于AB的中点时，△EFG面积取得最小值；
（3）当点E位于AB的中点时，
直线CD与△EFG的外接圆相切，
理由：GF的中点为O，连接EO，
则EO=$\frac{1}{2}$GF，
当点E位于AB的中点时，点G位于AD的中点，点F位于CB的中点，
则GF=CD=AD，
∴EO=$\frac{1}{2}$AD，
∴当O到CD的距离为$\frac{1}{2}$AD，
∴直线CD与△EFG的外接圆相切；
当点E位于AB的非中点时，直线CD与△EFG的外接圆相交，
理由：当点E位于AB的非中点时，GF＞CD，
∴O到CD的距离＜OE，
∴直线CD与△EFG的外接圆相交．

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转的性质、二次函数的性质以及直线与圆的位置关系，正确根据题意列出二次函数解析式是解题的关键，注意等腰直角三角形的判定和直角三角形的性质的灵活运用．