Question

12．如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，在BD的延长线上取点C，使DC=BD，AC与⊙O交于点E，DF⊥AC于点F．求证：
（1）DF是⊙O的切线；
（2）DB²=CF•AB．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理得到OD∥AC，根据平行线的性质得到DF⊥OD，根据切线的判定定理证明即可；
（2）证明△CDF∽△CAD，根据相似三角形的性质定理证明即可．

解答 证明（1）如图1，连接OD，
∵OA=OB，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD=DC，
∴AB=AC，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠ADC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{AC}{CD}$，即：CD²=CF•AC．
又∵BD=CD，AB=AC，
∴DB²=CF•AB．

点评 本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．