题目内容

7．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE；
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）根据图2，请直接写出AD、BD、CD三条线段之间的数量关系．

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得到条件，判断出△BAD≌△CAE即可；
（2）同（1）方法一样；
（3）根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：如图1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；                           
（2）如图2，

将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．
与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD；      
（3）2AD2=BD2+CD2，
∵∠EAD=90°AE=AD，
∴ED=$\sqrt{2}$AD
在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2，
∴2AD2=BD2+CD2

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和等腰直角三角形的性质，判断出△BAD≌△CAE是解本题的关键．

练习册系列答案
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