Question

4．阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连结OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面积．
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•r，S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•r，S_△OCA=$\frac{1}{2}$CA•r
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•r+$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$CA•r=$\frac{1}{2}$l•r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图2）且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

Answer 1

分析 （1）根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条件，结合勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．可以首先求得其面积与周长，再根据其公式代入计算；
（2）同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和各切点，根据四边形的面积等于四个三角形的面积进行计算；
（3）根据上述方法和结论，即可猜想到：任意多边形的内切圆的半径等于其面积的2倍除以多边形的周长．

解答 解：（1）∵5，12，13为边长的三角形为直角三角形，
∴S=$\frac{1}{2}$×5×12=30，周长l=5+12+13=30，
∵S=$\frac{1}{2}$l•r，
∴30=$\frac{1}{2}$×30×r，
解得：r=2；

（2）连接OA，OB，OC，OD，并设内接圆半径为r，
∵S_{四边形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=$\frac{1}{2}$a•r+$\frac{1}{2}$b•r+$\frac{1}{2}$c•r+$\frac{1}{2}$d•r=$\frac{1}{2}$（a+b+c+d）•r．
∴r=$\frac{2S}{a+b+c+d}$；

（3）猜想：r=$\frac{2S}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了内切圆的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积问题．注意把n边形分成n个三角形进行计算是关键．