已知.点O是等边△ABC内的任一点.连接OA.OB.OC．(1)如图1.已知∠AOB=150°.∠BOC=120°.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是90°②用等式表示线段OA.OB.OC之间的数量关系.并证明,(2)设∠AOB=α.∠BOC=β．①当α.β满足什么关系时.OA+OB+OC有最小值?请在图2中画出符合条件� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．
（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．
①∠DAO的度数是90°
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．

分析（1）①根据旋转变换的性质、四边形内角和为360°计算即可；
②连接OD，根据勾股定理解答；
（2）①将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，根据等边三角形的性质解答；
②根据等边三角形的性质计算．

解答解：（1）①∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
由旋转的性质可知，∠OCD=60°，∠ADC=∠BOC=120°，
∴∠DAO=360°-60°-90°-120°=90°，
故答案为：90°；
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA²+OB²=OC²．
如图1，连接OD．
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°．
∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB．
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°．
∴∠DAO=90°．
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴OA²+AD²=OD²．
∴OA²+OB²=OC²．
（2）①如图2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．
作图如图2，
如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′．
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°．
∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，
∠A′O′C=∠AOC．
∴△OC O′是等边三角形．
∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°．
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=∠A′O′C=120°．
∴∠BOO′=∠OO′A′=180°．
∴四点B，O，O′，A′共线．
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；
②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=$\sqrt{3}$．