Question

20．如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{FC}$=$\sqrt{2}$，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{FC}$=$\sqrt{2}$，
又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF．

（2）：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠CBF，$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
又∵$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，AE=2
∴$\frac{2}{BF}$=$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∴EF²=BE²+BF²=3，
∴EF=$\sqrt{3}$，
∵CE²=2EF²=6，
∴CE=$\sqrt{6}$．

点评 此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的前提．