题目内容
5．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．
分析 （1）连接AC，由三角形中位线定理得出EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，得出EF∥GH，EF=GH，即可得出结论；
（2）连接AC、DB，由等边三角形的性质得出AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，证出∠AMC=∠DMB，由SAS证明△AMC≌△DMB，得出AC=DB，由三角形中位线定理得出EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$DB，得出EF∥GH，EF=GH，证出四边形EFGH是平行四边形；再得出EF=HE，即可得出结论．
解答 解：
（1）中点四边形EFGH是平行四边形；
理由如下：连接AC，如图1所示：
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：
连接AC与BD，如图2所示：
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，
∴∠AMC=∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=DM}&{\;}\\{∠AMC=∠DMB}&{\;}\\{CM=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△DMB（SAS），
∴AC=DB，
∵∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$DB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵AC=DB，
∴EF=HE，
∴四边形EFGH为菱形．
点评 本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出AC=DB是解决问题（2）的关键．
如图，△ABO为等边三角形，点B的坐标为（-4，0），过点C（4，0）作直线l交AO于点D，交AB于点E，点E在反比例函数y=$\frac{k}{x}$ （x＜0）的图象上，且△ADE的面积和△DOC的面积相等，则k的值是-3$\sqrt{3}$．
如图，菱形ABCD和菱形CEFG，AB=2，∠A=120°，点G在CD上，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，BF，则△BDF的面积为$\sqrt{3}$．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A．C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（1，3）或（4，3）或（9，3）．
如图，已知?ABCD，AB=$\frac{1}{2}$BC，延长AB至F，使BF=AB，再延长BA至E，使AE=AB，试判断EC与FD的位置关系，并说明其结论正确的理由．
在?ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB=10cm，AD=8cm．