Question

13．如图，△ABO为等边三角形，点B的坐标为（-4，0），过点C（4，0）作直线l交AO于点D，交AB于点E，点E在反比例函数y=$\frac{k}{x}$ （x＜0）的图象上，且△ADE的面积和△DOC的面积相等，则k的值是-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AC，先由等边三角形及等腰三角形的性质判断出△ABC是直角三角形，再由S_△ADE=S_△DCO，S_△AEC=S_△ADE+S_△ADC，S_△AOC=S_△DCO+S_△ADC，可得出S_△AEC=S_△AOC，故可得出AE的长，再由中点坐标公式求出E点坐标，把点E代入反比例函数即可求出k的值．

解答 解：连接AC．
∵点B的坐标为（-4，0），△AOB为等边三角形，
∵AO=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AOB=60°，
∴∠ACO=30°，∠B=60°，
∴∠BAC=90°，
∴点A的坐标为（-2，2$\sqrt{3}$），
∵S_△ADE=S_△DCO，S_△AEC=S_△ADE+S_△ADC，S_△AOC=S_△DCO+S_△ADC，
∴S_△AEC=S_△AOC=$\frac{1}{2}$×AE•AC=$\frac{1}{2}$×CO×2$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$AE•4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$，
∴AE=2．
∴E点为AB的中点，坐标为（-3，$\sqrt{3}$），
则k=-3×$\sqrt{3}$=-3$\sqrt{3}$，
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识，掌握反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义是解题的关键．