Question

17．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}$，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH=90°．

Answer 1

分析 作高BP，CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ．构建相似三角形△MBQ∽△MCP，从而推知点M、A、P、Q、H五点共圆，最后根据圆周角定理证得结论．

解答 证明：作高BP，CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ． 
$\frac{BD}{DC}$=$\frac{{S}_{△BME}}{{S}_{△CME}}$
=$\frac{\frac{1}{2}BM•BE•sin∠MBE}{\frac{1}{2}CM•CE•sin∠MCE}$=$\frac{BM}{CM}$•$\frac{AB}{AC}$①
$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BQ}{CP}$•$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{BQ}{CP}$•$\frac{AB}{AC}$②
由①②得：$\frac{BM}{CM}$=$\frac{BQ}{CP}$，
又∵∠MBA=∠MCA，
∴△MBQ∽△MCP，
∴点M、A、P、Q四点共圆，即点M、A、P、Q、H五点共圆，
又AH为直径，
∴∠AMH=90°．

点评 本题考查了梅涅劳斯定理及塞瓦定理，掌握塞瓦定理与梅涅劳斯定理是解题的关键，不是初中教学内容，难度较大．