Question

8．在数学的学习中，我们要学会总结，不断地归纳，思考和运用，这样才能提高我们解决问题的能力，下面这个问题大家一定似曾相识：
（1）比较大小：①2+3＞2$\sqrt{2×3}$；②3+$\frac{1}{4}$＞2$\sqrt{3×\frac{1}{4}}$；③8+8= 2$\sqrt{8×8}$；
（2）通过上面三个计算，我们可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：a+b≥2$\sqrt{ab}$；
（3）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上的中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形证明上述不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，并指出等号成立的条件．
（4）探索应用：如图2有一个等腰梯形工件（厚度不计），其面积为7200cm²，现在要用细包装带如图那样包扎（虚线表示包装带，四点为四边中点），则至少需要包装带的长度为240$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 （1）利用平方法比较大小（两个都是非负数）即可；
（2）由于a，b为非负数，利用作差法先比较它们的平方，再结合a²≥0，即可；
（3）利用射影定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
（4）利用梯形的面积公式和前面得到的结论，即可．

解答 解：（1）①∵（2+3）²=25，（2$\sqrt{2×3}$）=4×6=24，
而25＞24，
∴2+3＞2$\sqrt{2×3}$，
②∵（3+$\frac{1}{4}$）²=$\frac{169}{16}$，（2$\sqrt{3×\frac{1}{4}}$）²=3，
而$\frac{169}{16}$＞3，
∴3+$\frac{1}{4}$＞$\sqrt{3×\frac{1}{4}}$，
③∵8+8=16，2$\sqrt{8×8}$=2×8=16，
∴8+8=2$\sqrt{8×8}$；
故答案为＞，＞，=；
（2）∵对任意的非负实数a，b，
∴（a+b）²-（2$\sqrt{ab}$）²=a²+b²+2ab-4ab=a²+b²-2ab=（a-b）²；
∵（a-b）²≥0，
∴（a+b）²-（2$\sqrt{ab}$）²≥0，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$；
（3）根据射影定理得到：CD²=AD×BD，
∵AD=2a，BD=2b，
∴CD²=4ab，
∴CD=2$\sqrt{ab}$，
∵CO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OC=$\frac{1}{2}$（AD+BD）=$\frac{1}{2}$（2a+2b）=a+b，
Ⅰ、当直角三角形不为等腰直角三角形时，
∵OC是Rt△OCD斜边，
∴OC＞CD，
∴a+b＞2$\sqrt{ab}$
Ⅱ、当直角三角形是等腰直角三角形时，点C，D重合，
∴OC=CD，
∴a+b=2$\sqrt{ab}$
即：OC≥CD，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$；
故答案为a+b≥2$\sqrt{ab}$（当a=b时，取等号）；
（4）设EG=a，FH=b，
根据梯形面积公式得，ab=7200，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{7200}$=120$\sqrt{2}$，
∴a+b的最小值为60$\sqrt{2}$，
∴包装带至少需要2（a+b）=2×120$\sqrt{2}$=240$\sqrt{2}$cm．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了比较无理数大小的一种方法（针对两个非负数，平方大的它也大），射影定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，用平方法比较无理数大小的方法是解本题的关键，用几何图形证明结论是本题的难点．