Question

18．如图，在△ABC，CB=CA，∠ACB=90°，D为边AB的中点，点P在边AC的延长线上运动，作QD⊥PD，交CB于点Q，则DP=DQ成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 DP=DQ成立．连接CD．只要证明△CDP≌△BDQ即可解决问题．

解答 解：DP=DQ成立．
理由：连接CD．
∵CB=CA，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DAD，∠CDB=∠PDQ=90°，∠ACD=∠ABC=45°，
∴∠CDP=∠BDQ，∠DCP=∠DBQ=135°，
在△CDP和△BDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCP=∠DBQ}\\{CD=DB}\\{∠CDP=∠BDQ}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△BDQ，
∴DP=DQ．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．